数学并非真实存在，而是虚构的数字游戏？

作者[db:标签]欧林工程学院数学助理教授切里斯·休斯顿-爱德华兹

审校:扬州大学物理科学与技术教授吴建平

当我告诉别人我是数学家时，最令人惊讶的回答之一是:“我真的喜欢数学，因为这里的一切不是对就是错，没有歧义或不确定性。”对此，我总是支支吾吾地回答。事实上，不是每个人都喜欢数学，我不想挫伤人们对数学的热情。事实上，数学充满了不确定性，但数学本身很好地隐藏了这种不确定性。

我当然理解数学中没有不确定性的观点。例如，如果老师问你7是否是质数，答案必须是“是”。因为根据定义，质数是一个大于1的整数，只能被自身和1、2、3、5、7、11、13等整除。都是质数，7是非常确定的。

在过去的几千年里，在世界任何地方，任何时候，任何数学老师都必须承认“7是质数”这句话是正确的，不会与你的答案相冲突。然而，很少有其他学科能像数学一样达成如此令人难以置信的共识。然而，如果你问100个数学家什么可以用来解释这些数学命题的性质，你可能会得到100个不同的答案。数字7可能只是一个抽象的数学对象，质数属性是这个对象的一个特征。或者，质数可能是数学家精心设计的游戏。换句话说，数学家可以就一个命题是对是错达成一致，但他们不能就命题的本质达成一致。

在某种程度上，这些争论是简单的哲学问题:数学是人类发现的客观规律，还是取决于主观愿望的创造？也许7是一个独立于我们的真实物体，但它的本质是数学家们仍在探索的东西。也许它是人们想象中的一个虚构的事物，它的定义和属性是灵活多变的。事实上，数学研究的这种行为激发了一种类似于哲学二元论的观点，在这种观点中，数学既是人类的发明，也是人类的发现。

在我看来，这一切有点像即兴表演。数学家们构建了一个数学背景阶段，由一些特征或对象以及一些相互作用的规则组成，然后观察这些数学对象在这个背景下是如何发展和演变的。结果是这些角色演员完全独立于数学家的意图，并迅速发展出令人惊讶的特征和关系。然而，不管谁导演这部戏，结局总是一样的。正是这种结果的不可避免性给了数学强大的凝聚力。关于数学对象的性质和数学知识的获取的问题仍然是隐藏和未被发现的。

发明

我们如何判断一个数学命题是否正确？与通常通过观察自然现象来推断自然基本原理的自然科学家不同，数学家严格地从数学对象的规则中推断出结论。这个演绎过程叫做证明。这个过程通常从一个相对简单的前提出发，推导出复杂的结论。乍一看，数学证明的过程似乎是数学家达成共识的关键因素。

但是这种证明只基于某些条件给出数学真理，也就是说，结论的真实性取决于前提假设的真实性。人们普遍认为数学家们的共识是由基于证明的论证结构产生的。事实证明，基于一些核心假设，其他结论取决于这些假设。这就提出了一个问题:这些核心假设和想法从何而来？

事实上，数学最重要的事情通常是它的有用性。例如，我们需要数字，这样我们就可以计算奶牛的数量并测量田地的面积。有时最初的假设是美学上的兴趣。例如，我们可以发明一种新的算术系统，其中负数乘以负数就是负数。然而，在这个系统中，那些直观和理想的数轴属性将会消失。数学家对基本对象(如负数)及其性质(如相乘的结果)的判断需要与更大的数学框架保持一致。因此，数学家需要在证明一个新定理之前观察这出戏剧的发展。只有这样，数学家们才能知道要证明什么:什么是真正不变的、不可避免的真理

数学中的角色几乎总是由非常简单的物体组成。例如，圆被定义为与中心点等距的所有点的集合。因此，圆的定义取决于一个点的定义(这是一种非常简单的对象类型)和两点之间的距离。同样，重复加法的过程是乘法，一个数的乘法本身就是乘法。因此，幂的属性继承了乘法的属性。另一方面，我们也可以通过研究定义更简单的对象来学习更复杂的数学对象。这导致一些数学家和哲学家把数学想象成一个倒金字塔，其中许多是复杂的物体和来自狭窄塔底的简单概念的想法。

19世纪末20世纪初，一群数学家和哲学家开始思考到底是什么支持了这个庞大的数学倒金字塔。他们非常担心数学没有基础——，也没有任何东西支持数学结论1 1=2的真实性。

一些数学家希望找到一套相对简单的公理，从这套公理中可以推导出所有的数学真理。然而，美国数学家库尔特·哥德尔在20世纪30年代的工作经常被用来证明这个公理系统是不可能的。首先，哥德尔证明了任何合理的公理系统都是不完整的。这个系统的数学表示不能被证明或反驳。哥德尔关于数学不完全性的定理给数学带来了毁灭性的打击。最初，每个人都认为数学公理的基本体系应该是一致的，没有任何陈述可以被证明和反驳。(在数学中，我们不能同时证明7是质数和不是质数。这种数学不能令人满意)。更重要的是，前数学家认为数学系统应该能够证明自己的一致性。但是哥德尔定理指出这是不可能的。

寻找数学基础的过程确实导致了一个基本公理系统的发现，这个基本公理系统被称为策梅洛-弗兰柯集合论，从中可以得到最有趣的数学。基于集合论，不仅数学变得非常简单明了，而且大多数数学知识都有坚实的基础。

整个20世纪，数学家们都在争论，所谓的选择公理泽梅洛-弗雷蒙集合论(Zemello-Fraimon set theory)是否应该扩展:如果你有无数个包含对象的集合，你可以从每一个集合中选择一个对象来形成一个新的集合。例如，有一排桶，每个桶都有一组球和一个空桶。从一排的每个桶中，你可以选择一个球并把它放入一个空桶中。选择公理允许你使用无数排桶来操作。这种方法不仅直观、有吸引力，而且可以用来证明一些有用的数学表达式，还隐含着一些奇怪的东西，比如巴拿赫-塔尔斯基悖论(Banach-Tarski paradox)，它表明你可以将一个实心球分成几个部分，并将这些部分重新组装成两个新的实心球，每个实心球的大小都与原来的球相同。换句话说，你可以得到两个球。选择公理包含许多重要的表达式，但它也带来了额外的问题，包括一些奇怪的坏表达式。但是没有选择公理，数学似乎缺少一些关键的基本内容。

大多数现代数学使用一套随着时间推移而演变的标准定义和惯例。例如，数学家曾经认为1是质数，但现在不是了。然而，他们仍然在争论0是否应该被理解为自然数(有时称为计数数，自然数被定义为0，1，2，3.或者1，2，3.取决于你问谁)。哪些字符或发明可以成为数学经典的一部分通常取决于结果有多有趣，这种观察可能需要数年时间。从这个意义上说，数学知识是积累的。

发现

如前所述，数学家最初考虑在特定的应用条件下定义数学对象和公理。然而，随着时间的推移，数学发展到了——发现的第二阶段。例如，素数是乘法的基石和最小乘法的单位。如果一个数不能写成两个较小数的乘积，那么这个数就是质数。所有非质数(复合数)都可以通过乘以一组唯一的质数来获得。

1742年，德国数学家克里斯蒂安·歌德巴赫假设每一个大于2的偶数都是两个质数的和。如果你选择任何偶数，哥德巴赫猜想指出，你可以通过加两个质数找到偶数。如果你选择8，两个质数是3和5；如果你选择42，它可以是13 29。哥德巴赫的猜想令人惊讶，因为虽然质数最初是被设计成乘法的，但它表明质数和偶数之间有着难以置信的关系。

大量证据表明哥德巴赫的猜想是正确的。在接下来的300年里，计算机数值计算证实了这个猜想对于所有小于4×1018的偶数都是正确的。然而，这个证据不足以让数学家宣称哥德巴赫的猜想是正确的，因为无论计算机检查多少个偶数，都有无限多的偶数，所以在角落——中可能总会潜伏着一个反例，一个不是两个素数之和的偶数。

想象一下，每当计算机发现两个素数之和是一个特定的偶数，它就会记录下这个偶数。到目前为止，这是一个很长的数字列表。你可以用它作为令人信服的理由来说服人们哥德巴赫的猜想是正确的。然而，总有人会想出一个不在列表上的偶数，并问你如何知道哥德巴赫猜想对那个数字仍然有效。并非所有(无限数量)的偶数都会出现在列表中，因此，只有从基本原理出发，通过逻辑论证证明哥德巴赫猜想对任何偶数都有效，才足以将这个猜想提升为一个定理。然而，直到今天，还没有人能够提供这样的证据。

哥德巴赫猜想说明了数学发现和证明阶段之间的重要区别。在发现阶段，人们寻求数学事实和数学现象，而数学的本质需要坚实的证明。

数学家需要整理数学发现并决定证明什么，但它们也可能具有欺骗性。例如，让我们构建一系列数字:121、1211、12111、121111、121111等。我们做出以下猜想:序列中的所有数字都不是质数。为这个猜想提供证据很容易。可以看出，121不是质数，因为121=11x11。类似地，1211、12111和121111不是质数。这种模式可以持续一段时间，但后来突然出错了。该序列中的第136个数字(即12111.111，136“1”后跟“2”)是质数。

数学发现阶段仍然极其重要。例如，它可以揭示哥德巴赫猜想给出的质数之间的隐藏联系。在发现这种深刻的联系之前，数学家通常研究数学的两个完全不同的分支。一个相对简单的例子是欧拉恒等式，ei pi 1=0，它通过数字e(自然对数的底)将几何常数pi与数字I(代数定义为-1的平方根)连接起来。这些惊人的发现是数学美和好奇心的一部分。他们似乎指出了数学家才刚刚开始理解的更深层次的基础设施。

在这个意义上，数学可以被发明和发现。研究对象被精确地定义，但是他们有他们自己的生活，并且将揭示意想不到的复杂性。因此，数学对象既可以被视为实际存在，也可以被视为人工创造。正如一位哲学家所写，“二元性对数学家的工作方式没有影响。”

现实或虚幻

数学实在论似乎是发现阶段的哲学观点:数学研究的对象，如圆和素数、矩阵和流形，是真实的，独立于人类思想而存在。就像天文学家探索遥远的行星或古生物学家研究恐龙一样，数学家正在收集对真实实体的见解。例如，证明哥德巴赫猜想就是通过加法证明偶数和质数之间联系的特定性质，正如古生物学家可能通过两个物种解剖结构之间的关联证明一只恐龙起源于另一只恐龙一样。

现实主义的各种表现形式，如柏拉图主义，可以很容易地理解数学的普遍性和实用性。每个数学对象都有一个属性。例如，7是质数，就像恐龙有飞行的特性一样。一个数学定理，比如两个偶数的和是一个偶数——，是正确的。因为偶数确实存在，而且它们之间有特定的关系。这解释了为什么人们跨越时间、地理和文化

但是有些人反对现实主义。他们认为，如果数学对象是真实的，那么它们的本性一定是非常独特的。首先，数学对象非常抽象，所以你不能真正与它们互动。这是一个问题，因为恐龙可以被分解成可以看见和触摸的骨头。行星也可以通过恒星前面，被天文学家观察到。然而，数学圈是一个抽象的物体，不受空间和时间的限制。事实上，π是圆周与圆直径的比值，与苏打水或甜甜圈无关。它指向一个数学上抽象的圆，在那里距离是精确的，圆上的点是无穷小的。这样一个完美的圆在现实生活中似乎是不可企及的。那么，如果没有特殊的第六感，我们如何理解圆圈的事实呢？

这是现实主义的难点——。它无法解释我们如何知道抽象数学对象的本质。所有这些都可能导致数学家们从现实的立场上退缩。反现实主义将数学定义为一种纯粹的思维方式或一部完整的小说，可以很容易地避免认识论问题。

形式主义是反现实主义和哲学观点的一种形式。它主张数学就像一场游戏。数学家们只是在玩游戏规则——，说7是质数，就像说骑士是唯一能以L形式移动的棋子。另一个哲学观点是虚构主义，认为数学对象是虚构的——，并说7是质数，就像说独角兽是白色的。数学在它想象的宇宙中有意义，但在它之外没有真正的意义。

但是如果数学只是被发明出来的，它怎么可能成为科学的重要组成部分呢？从量子力学到生态模型，数学是一种广泛而精确的科学工具。科学家不期望基本粒子按照国际象棋的规则运动。自然科学描述的负担完全落在数学上，这与游戏或小说完全不同。

最后，这些问题不影响数学的实际应用。数学家可以自由选择他们对自己职业的解释。在《数学经验》中，菲利普·戴维斯和鲁本·赫什有一句名言:“典型的职业数学家平日是柏拉图主义者，周末是形式主义者。”